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Die Cassini-Identität oder Simson-Identität beschreibt eine Beziehung dreier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen. Sie ist nach Giovanni Domenico Cassini (1625–1712) beziehungsweise Robert Simson (1687–1768) benannt, die sie unabhängig voneinander bewiesen, und zudem ein Spezialfall der allgemeineren Identität von Catalan.

• Identität und Verallgemeinerungen

• Beweis

• Geschichte

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Für drei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen f n − − 1 , f n , f n + 1 {\displaystyle f_{n-1},f_{n},f_{n+1}} mit n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } gilt:cite-ref-1[1]

f n − − 1 f n + 1 − − f n 2 = ( − − 1 ) n {\displaystyle f_{n-1}f_{n+1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n}}

Dies ist ein Spezialfall der Identität von Catalan ( n , k ∈ ∈ N , n > k {\displaystyle n,k\in \mathbb {N} ,\,n>k} )cite-ref-koshy-2-0[2]

f n 2 − − f n − − k f n + k = ( − − 1 ) n − − k f k 2 {\displaystyle f_{n}^{2}-f_{n-k}f_{n+k}=(-1)^{n-k}f_{k}^{2}} ,

die sich wiederum zur Identität von Vadja ( n , i , j ∈ ∈ N {\displaystyle n,i,j\in \mathbb {N} } ) verallgemeinern lässt:cite-ref-west-3-0[3]

f n + i f n + j − − f n f n + i + j = ( − − 1 ) n f i f j {\displaystyle f_{n+i}f_{n+j}-f_{n}f_{n+i+j}=(-1)^{n}f_{i}f_{j}} .

Ein sehr kurzer Beweis der Cassini-Identität ergibt sich aus der Matrixdarstellung der Fibonacci-Zahlen:cite-ref-4[4]

f n − − 1 f n + 1 − − f n 2 = det ( [ f n + 1 f n f n f n − − 1 ] ) = det ( [ 1 1 1 0 ] n ) = det ( [ 1 1 1 0 ] ) n = ( − − 1 ) n {\displaystyle f_{n-1}f_{n+1}-f_{n}^{2}=\det \left(\left[{\begin{matrix}f_{n+1}&f_{n}\\f_{n}&f_{n-1}\end{matrix}}\right]\right)=\det \left(\left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}\right)=\det \left(\left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}}

Der französische Astronom und Mathematiker Cassini bewies die Identität 1680 und der schottische Mathematiker Simson unabhängig davon 1753.cite-ref-koshy-2-1[2] Allerdings war die Identität vermutlich auch schon Johannes Kepler um 1608 bekannt.cite-ref-5[5] Der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan (1814–1894) publizierte die nach ihm benannte Identität 1879.cite-ref-koshy-2-2[2] Der britische Mathematiker Steven Vajda (1901–1995) schrieb ein Buch über Fibonaccizahlen (Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications, 1989), in dem die nach ihm benannte Identität enthalten ist.cite-ref-west-3-1[3]cite-ref-6[6] Allerdings wurde diese Identität auch schon 1960 von Dustan Everman im The American Mathematical Monthly veröffentlicht.cite-ref-koshy-2-3[2]

• Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, S. 74–75, 83, 88

• Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9, S. 91–93

• Eric W. Weisstein: Cassini's Identity. In: MathWorld (englisch).

• Cassini's Identity auf cut-the-knot.org

• Cassini's Identity im ProofWiki

cite-note-11. ↑ Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9, S. 91–93

cite-note-koshy-22. ↑ Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, S. 74–75, 83, 88

cite-note-west-33. ↑ Douglas B. West: Combinatorial Mathematics. Cambridge University Press, 2020, S. 61

cite-note-44. ↑ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4, S. 81

cite-note-55. ↑ Miodrag Petkovic: Famous Puzzles of Great Mathematicians. AMS, 2009, ISBN 9780821848142, S. 30–31

cite-note-66. ↑ Steven Vadja: Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications. Dover, 2008, ISBN 978-0486462769, S. 28 (Erstpublikation 1989 bei Ellis Horwood)